高中数学教师资格证会考微积分吗_初中数学教师资格证要考微积分吗

　　未来春藤近日特邀加拿大教育局数学竞赛老师、多个国际数学竞赛出题阅卷老师、美国数学协会（MAA）注册会员马兰老师为春藤的家长们带来了一堂《如何做好k12数学能力阶梯规划》分享。

　　马兰老师详细讲解了纵观全局数学通识教育，横向对比了IB、 AP、新加坡数学、加拿大B.C.课程大纲及中国高考数学，还与我们探讨了数学竞赛路径规划，且给家长答疑解惑。

　　下文为本次分享的干货整理。

　　大家好！我是数学老师马兰，来自加拿大温哥华。

　　今天非常荣幸能够跟大家分享五大国际数学课程大纲，还有整个k12数学各年龄段的课程标准要求，小朋友在小学、初中和高中三个重大的分水岭，以及国际数学竞赛路径规划。

一、梳理五大国际数学课程标准

大家看 PPT上的五大国际数学课程大纲，包括了我们熟悉的IB课程、AP课程、新加坡数学（传说中的高中A-Level数学课程）、北美课程，以及咱们国内的高考数学，中国高考是被全世界认可的，所以也在国际课程大纲当中。首先给大家介绍一下IB的数学大纲，IB的课程总共有6门基础课程，再加上3门的高级课程（知识理论、拓展论文和社会活动），加在一起组成了IB的课程大纲。IB课程大纲的数学课程分为两类，一个是分析型数学，一个是应用型数学。分析型数学就是我们常说的最难、最高阶的数学课程，它又分为了标准数学和高阶数学；应用类数学也分为标准数学和高阶数学。然后讲讲A-Level的课程大纲，A-Level就是小学阶段新加坡数学，因为孩子们的数学课程到高中阶段是要跟国际其他课程大纲拉齐标准的，在高中阶段孩子们的新加坡数学，新加坡教育局采用的是新加坡剑桥A水准，就是我们经常说到的A-Level课程。还有北美课程标准，北美课程标准并不是一个统一的课程标准，是由各地州政府独立建立的，比如加拿大是各省自行建立了省级的课程标准。AP课程叫做大学先修课，属于高级课程标准。AP跟其他的课程标准并不相同，IB是属于文凭课程，但AP是属于自由选修科目，在有条件的情况下，大家可以选修AP课程，比如孩子擅长数学，选修一个AP的数学课程。AP课程相当于是美国大学1年级的课程标准，IB的数学相当于是高中12年级（高三）的课程要求标准，北美课程标准、新加坡的A-Level都是高中的课程标准。但AP课程跟IB、新加坡有一点不太一样的地方，在北美课程和IB课程这些高中课程标准当中，IB课程的难度系数非常大，但是AP课程实际上只是有微积分、统计学这两个单独的课程。我们现在说一说每个课程标准之间的区别和差异到底在哪里？首先国际课程标准跟国内所用的人教版课程标准有一个巨大的差异——国内的数学课程特别注重的是扎实的理论基础，国际课程标准特别重视的是应用型数学。比如IB数学，所有数学的知识点可能会用到交叉学科中，比如地理题这种科学题目当中，人文科学和自然科学当中都会用到。

　　我给大家展示的是IB课程大纲，其中是一道地理题，我们能够看到地理题里边的内容全部都是统计学的饼状图、柱状图、线形图，IB的地理特别强调学生的数据分析能力，对于整个数据分析的对比情况。

　　上面是A-Level的地理题，我们发现A-Level课程标准对于整个的数学要求就没有那么高了，不会应用到科学当中去，或者应用得非常有限，它给出的所有图片全都是自然地理，还有地图题。现在来说一说五大数学课程大纲之间差异，以及难易程度。A-Level课程标准是点到为止，因为相对IB的高阶和中国高考来讲，A-Level课程标准的考题会简单点。IB的课程标准的标准级要比中国高考内容略简单，但是高阶的IB课程要比中国高考的数学标准略难一些。

　　在这里跟大家特别讲一下，IB课程标准现在是国际上最通行的课程标准，它分为PYP、MYP和DP，也就是小学、中学和高中三大块；AP跟小学生没有任何关系，AP要等到孩子到了高中之后选修自己感兴趣的学科；A-Level在小学阶段就是我们常用的新加坡数学，延伸到高中就变成了新加坡剑桥A水准A-Level ；北美的课程大纲是沿用自己州或者省的课程大纲，从幼儿园一直到高中12年级。值得一提的是，不管是北美的课程大纲还是A-Level这种英国本土的课程大纲，它们有一个共同的特点——大学不能够直接作为转学分，不能够直接去评估这些课程，要求学生必须要参加标准化考试，也就是SAT和AP考试。如果小朋友在国际学校或者是在其他国家读的课程标准是当地的课程标准和A-Level的课程标准，孩子就要提前准备好SAT和AP考试。需要特别提醒的是，A-Level课程打分是以A和B的评分标准来的；IB课程是总分45分，单科7分满分，4分合格，再加上3分核心课程分，采用的是分块、分模块的打分方式。因为A-Level的评分标准不够严谨，所以英国政府一直在改革A-Level的评分标准，它的改革方向就是以IB为蓝本的。如果大家在可以选择的情况下，尽可能选择IB的课程。但是IB课程读到了高中的时候会出现一个问题，就是IB的高中文凭课程在全球每年能够通过的概率为78~79%，是比较低的。如果小朋友在10年级的时候发现单科的分数停留在4.5分左右，建议退出IB的课程系统，因为比较低的平均分会影响到孩子升大学。IB课程特别强调的是学生的分析、抽象、概括能力，还有风险意识、统计素养、算法、思想，这些建模和调查的能力都是IB特别注重的，也是我们现行的国际课程大纲特别注重的。

二、解析K-12各年级数学能力标准

　　下面我将要介绍的就是各个年龄段、各个年级的能力标准要求。在这一阶段，我要分为四个模块来讲，第一个就是学前的数学教育，第二个就是小学的数学教育，第三个就是初中的数学教育，第四个就是高中的数学教育。在每个年龄段，小朋友想要达到国际数学要求标准，我们需要做到哪些部分？

　　数学教育在学前这个年龄段，我们叫做幼儿园阶段，幼儿园一直到9年级的中小学的数学实际上学的是what，学的是这个东西的概念、知识的概念；高中的数学学习学的是why，学的是为什么；数学竞赛学的是how，学的是怎么做。学前的数学教育学前就是从幼儿园开始一直到小学1年级，这个学龄段小朋友是由具体、形象的事物过渡到抽象的认知，这一阶段小朋友的数学能力应该有哪些？在学前特别重要的就是要开始有集合的概念，说得清楚一点就是类别，小朋友在幼儿园阶段要有分类的概念，也就是统计的概念。大家可能觉得是在初中，也就是7年级到12年级才学统计的概念，但在国际课程标准当中，统计的概念是从小学、幼儿园开始的。在小学的时候重要的是建立组合、规律与顺序的概念，小朋友在认识数字的时候，可以强调数字的顺序性，比如倒序、正序，还有组合、分类是可以放在一起的。小朋友还要掌握的数的概念，数的概念包括理解数字代表的意义、数字代表数量；小朋友也需要掌握奇偶数，可以通过配对的方法让小朋友掌握什么是奇数，什么是偶数。小朋友还需要掌握相邻数，就是序列、顺序；还有数的家庭成员，比如小朋友需要掌握0~9可以组成数字。还有简单的加减法运算，小朋友要掌握到有具体到抽象的理解，比如从两个苹果加上两个苹果到“2+2”这种抽象的理解，可以推导出来数字的推理、认知，认知钱币……这些都是在幼儿园阶段应该掌握的。在幼儿园阶段，除了数的概念之外，国际课程标准跟国内的人教版有一个巨大的不同，就是要掌握量的概念。量的概念在人教版当中有关于计量单位的概念、时间的概念，但是时间这个东西，小朋友看不见、摸不着，所以他最开始要学会感知。通过感知时间的概念可以逐渐建立起来孩子们对于时间的理解，同时对孩子整个未来的学业和人生规划都起着重至关重要的作用，因为小朋友要学会管理自己的时间、规划自己的时间，这很重要。时间的概念在人教版当中只学了小时、天这些基本的概念，其实也要特别注意小朋友要有日、月、年的概念，然后就是空间的概念，认识空间、方位也特别重要。在小学的时候，我们经常会看到小朋友会有一些地图题，描述地图、路线图等方位、位置，这些空间几何概念的题目在小学当中经常出现。实际上在幼儿园阶段，小朋友就应该可以要认识空间的方向了，这个时候小朋友应该可以描述出来地图当中的路线了。我在看IB的数学书时发现，在IB的数学大纲中会有地图题，小朋友需要去描述地图。雅思当中会有听力，作文当中要写路线图、流程图，这些地图题、流程图题其实跟IB的地图题很像，幼儿园小朋友是比较初等的阶段，是初级、最简单的level，但是也要开始学习了。最后就是几何概念了，幼儿园阶段小朋友除了要基本认识几何图形，重要的一点就是小朋友要学会等分概念。在两个知识点当中，小朋友应该学会等分概念。第一个可以通过一个圆形，用对半分、三等分、四等分让小朋友学会等分的概念；也可以在一个图形当中，比如一个正方形当中给小朋友等分的概念，这些幼儿园阶段的小朋友是可以理解的。小学的数学教育到了小学的阶段，我们首先要建立完整的数的系统，其中要包括整数，就是要包括正整数、负整数这些概念，然后分数、小数、百分比。小朋友在小学当中，国内一定会给小朋友打个特别扎实的基本功，就是四则运算，其中要包括倍数和因数、比例、比值，这些内容都是可以串到除法当中的，因为除法、分数、比是同一个知识点下的。有了四则运算，其实就有了方程的换算，小学的时候要做到熟练地运用方程。还有计量单位，就是关于计量和质量的单位，小学阶段的小朋友一定是能够掌握这些单位的换算的。还有几何当中角的认知，在小学的时候要掌握平行、相交这些基本的几何概念；还有图形的特点，在课本里面会学三角形、平行四边形，我们应该单独把一个图形拿出来给小朋友建立它的概念。最常用到的矩形，也是小学数学当中容易让小朋友掉队的知识点。如果没有把概念清楚地解释给小朋友听，小朋友不理解矩形等图形概念的情况下，做题的时候就会造成失误。我们可以给小朋友讲矩形、菱形、长方形、梯形、平行四边形和正方形。比如我们给小朋友讲清楚菱形，正方形是一个特殊的菱形，因为菱形有这样的特点，它的四边相等、对角相等，它的对角线呈垂直状态，并且对角线是可以平分的，是属于等分线。这些特点是小学数学中我们要在几何图形里一定要教给小朋友认知，这样小朋友才对于每一个图形的特点有充分的了解，才可以去做题。小学数学当中的几何，除了正常的图形之外，还会有一些不规则的图形，请小朋友也要掌握。最后小学数学当中除了统计、概率等重点内容之外，还有位置和方向。刚刚我们强调了幼儿园学习位置和方向的重要性，小朋友要知道描述空间方位的地图，包括地理路线。小学数学当中，我们就要把具体的描述放在抽象的几何当中，著名的法国数学家狄卡尔延伸出来了一个代数和几何的交叉学科，就是传说中的直角坐标系。直角坐标系是整个小学和初中小朋友很容易掉队的一个分水岭。小朋友在小学的时候要掌握它的位置和方向，能够找出来它的位置，然后标出来它的坐标，就是标出来x和y的值。然后就是统计和概率，刚刚我们也强调了，统计和概率并不是从小学开始的，而是从幼儿园开始的。

　　在图片中我们看到很多的小动物，像是一个动物园，旁边有一个图表，图表分为纵轴和横轴，横轴给出来了这些小动物的类别，竖轴就给出来了小动物的数量。小朋友可以对应小动物的名字，然后找到它的数量，这个时候小朋友就能数出来小动物有几只，应该标在哪一个位置，这是应用在幼儿园小朋友阶段的最简单的统计学图表题。

初中的数学教育

中学的数学，大家都知道要分为代数和几何代数，要有数轴、有理数、无理数。小朋友要充分了解它们的概念，还有它的来源。比如有理数是由著名的古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，他当初说这个世界上所有的数都是有理数，后来他的学生发现不是这样的。小朋友要掌握有理数、无理数的概念，因为当初数学家定义有理数的时候，说这个世界上所有的数都可以被正整数表达出来，这是有理数的概念。但是后来我们发现这个世界有也存在无理数，这个都是在中学的时候应该掌握的。中学以后代数除了要掌握数之外，要掌握方程，还有就是一个重要的不等式，不等式在初中的代数当中是一个小难点，小朋友容易在这一个地方掉队。几何的部分在初中有三角形、多边形、还有圆，圆是初中比较容易掉队的部分。还有最重要的部分就是图形变化了，图形变化在国内的小学中学课本当中，主要讲的是对称平移、旋转，国际课程大纲当中除此之外还有一个缩放，所以图形的变化实际上不是三大变化，应该是四大变化，这个是小朋友特别容易掉队的地方。所有的图形变化都是要在直角坐标系上面去变化的，所以小朋友要有很好的空间想象力，因为直角坐标系除了有二维的，还有三维的，后面图片当中能够看到5年级和12年级直角坐标系的对比，就是有二维的直角坐标系、三维的直角坐标系，小朋友逐渐要打开空间想象的思维。除了直角坐标系标系之外，还有一个特别重要的掉队的点——函数。在初中的时候，一般来讲是初三快的话可能是在初二，也就是我们的9年级和9年级，开始学习函数了，不管是国际课程标准，还是咱们国内的课程标准，都是要在8年级的时候开始进入函数。函数中比较难的也是小朋友容易掉队的地方，就是图像解析式、反比例函数，还有二次函数、初步三角函数。还有初中的概率和统计，初中的概率和统计其实并不难，因为课本当中讲的部分比较浅，但是出题却可以很难，所以这是小朋友容易掉队的地方。在这里我们特别强调一下，概率和统计的问题其实只有三大类：Combination（组合）、Permutation（排列），还有Factorial（阶乘），就是三大算法。三大算法的每一个算法可以出来的题型是有限的，所以大家不需要题海战术去无限制地刷题，只要把三大算法的具体概念理解透彻，然后小朋友把它可以延伸出来的练习熟练就足够了。

高中的数学教育

高中数学有著名的集合函数、不等式、向量、三角函数、数列、直线、圆、圆锥，还有三维几何体，就是三维立体几何，这些都是在高中数学当中会出现的。还有排列组合，这个时候概率论就是真正的概率论了，不是之前的初等概率论了。还有微分积分，相对来讲，微分和积分在国内高考数学当中考微分会比较多；积分在IB数学的高阶数学当中会着重考；AP数学会考微积分，在AP数学当中它分为两个，一个是ab一个是bc， ab是比较简单的，bc是比较难的，通常申请藤校是需要考AP当中的bc的。然后就是坐标系和参数方程了，孩子们从幼儿园就要开始打基础的。坐标系很重要，也在幼儿园的时候，小朋友要可以描述地图路径、空间方位；在小学的时候，要把具体的去抽象化，放在直角坐标系当中去描述位置；在初中的时候，要熟练地运用直角坐标系，可以看到图形的四大变化；在高中的时候，直角坐标系当中除了要用三角函数，还有就是参数方程，这些内容全部都是直角坐标系的内容，是特别重要的。总结一下，从幼儿园到整个高中三年级特别重要的一项就是统计学。因为统计学是在幼儿园开始，小朋友有基本的统计概念；到小学的时候可以熟练应用统计学的图表；初中的时候可以用简单的排列组合，还有三大算法；在高中的时候是真正的概率论和排列组合。说到这里继续往下看图片，在1、2年级的图片当中，大家能够看到小朋友要有柱状图具体的统计学图表的认知，包括饼状图，还有方位的认知，包括能够去解释地图，然后要有空间方位和方向的认知。

　　在图G5-12就是解释给大家的关于直角坐标系。

　　现在来说一说，为什么国际课程注重这些数学能力的培养？国际课程教材有哪里？

　　首先我们来说一下国际课程大纲的教材，那就是IB的教材、A-Level的教材、新加坡数学的教材，以及北美数学标准的教材。

　　IB数学的教材在这里边给大家讲一下，用到现在看到图片上的是海斯，海斯的教材是整个加拿大、北美用到比较多的IB数学教材，是基本上各个学校用的学校标准的教材，IB的教材还有剑桥大学出版社的、牛津大学出版社的。这里特别要说明一下，剑桥大学出版社出版的除了IB教材一种之外，还有一种叫做国际课程标准教材，国际课程标准教材并不是真正的IB教材，它是剑桥大学出版社自己的国际课程标准教材，大家不要弄混淆了。IB的教材全部都有IB的官方认证的，所以大家选购教材的时候可以看一下是不是上面有IB国际官方的IBO国际组织的图标，然后来确定教材到底是哪一本。

　　再说说新加坡的教材，新加坡数学不管在国内还是在现在的北美，包括我现在所在的加拿大温哥华，都是非常流行的，家长包括很多老师都给孩子们做新加坡数学。新加坡数学实际上有两种版本的教材，一个就是传统的叫做新加坡数学，另外一个是新加坡亚洲出版社的数学教材——SAP的数学教材。这些教材都很好，但是它们有一个特点，就是新加坡数学的小学数学很类似于大家所熟知的学而思数学的英文版，非常贴近于国内人教版的教学大纲，能够打下一个扎实的基础，但是它在应用性和拓展延伸不够，IB教材以及其他的国际的课程标准教材的应用性很好，特别注重的是交叉学科的学习，但是IB PYP的小学K-G6的基础不够扎实，建议大家结合起来使用。比如说像之前展示给大家的数学当中统计学的课程，知识可能会用在人文、自然、地理这些人文科学、自然科学当中，但是新加坡数学的教材不太一样，有一点类似于以前的人教版课改之前的教材，或者说它类似于我们的这种标准化考试的教材，拓展度不够。如果小朋友要是想在未来有更好的拓展，建议大家在新加坡数学的基础之上做一点应用科学当中的数学题。新加坡教材在初中阶段也是只有小学的延伸版，只有新加坡数学的出版社是有的，然后新加坡亚太出版社的没有看到它的延伸版。新加坡数学到高中阶段，除了有IB的课程体系、学校之外，新加坡数学在高中阶段叫做A-Level，也就是我们说的新加坡剑桥A水准。新加坡A-Level的考试形式类似于高考，一年只考一次、政府组织的这种考试。通常级别最高的等级考的是H3的数学，就是高级的数学。但是它的评分标准有限，再加上它的题多数是点到为止的，所以如果上的是A-Level课程标准的小朋友，特别建议就是要提前做好准备考SAT还有AP的准备就是要做好标准化考试的准备。因为我们的大学接收小朋友的申请的时候，是进入统一的系统标准的，但是像是IB系统的学生有专门的IB的评分，因为IB是全球统一的试卷统一的评分标准。但是新加坡数学是属于本土的课程标准，包括A-Level是英国本土的课程标准，没有全球统一的评分标准，所以造成了所有的大学，比如说加拿大的课程大纲，所有的大学录取的时候，要通过加权计算法来算我们的分数。不是说比如我在学校里分数是平均90分，然后交给大学就ok了。大学需要通过加权法重新排列，要对比学校其他的小朋友的成绩，还有学校小朋友和其他学校小朋友这种标准化考试，比如说SAT这种标准化考试的成绩做一个对比，然后通过加权法来计算分数，再重新排列，所以要有一个准备和规划。

　　再往下是北美课程大纲的示范教材，右手边能够看到特别卡通的Math Makes Sense的教材，是培生出版社出版的教材，还有特别有名的Jump Math的教材，全部都是北美课程标准当中比较实用的，也是各个学校作为学校校本教材的。在这里我特别推荐大家，如果孩子们想要额外做一点国际课程大纲的内容，建议买Jump Math，因为Jump Math后面有答案，方便家长来检查，但是Makes Sense教材因为没有答案，所以不太方便家长来检查。在上图的左手边可以看到8年级和10年级的教材，是初中和高中的数学教材，这两本都是我们现在的高中和初中在用的数学教材。在这里特别要跟大家提一下，如果孩子上的是北美的课程标准，要打出来两年的提前量，就是跟A-Level一样，要提前做好两年的准备。因为北美的课程标准，比如加拿大的小学是幼儿园K班开始的，然后1年级到12年级。但是它有一个问题，就是10年级学的pre capitalist，叫做前置微积分，11年级前置微积分，12年级也有一个前置微积分，但是12年级还有另外的一个叫做微积分，如果小朋友按正常的进度来学习的话，就会出现到12年级就没有时间再学微积分了。实际上我在教高中的数学，我们的高中有一个特点，小朋友是公立的高中，在12年级就会出现这样的情况：在高中跟国内一样，特别棒的小朋友会有数学快班，像列治文的高中，我们就是叫做IB的数学班，其他的比如温哥华的一些高中有数学快班，数学快班基本上小朋友在11年级的时候不仅仅要完成12年级的前置微积分，还要完成12年级的微积分。在12年级的时候，小朋友实际上学习的是叫做AP高阶数学课程，所以这是为什么小朋友要打出来至少两年的提前准备，这样在高中的时候才不至于措手不及。要申请国外大学的小朋友注意，世界一流名校有一个特点，在每年的12月之前基本上报名就截止了，最早的早期录取是在1月和2月就发放录取通知书了。如果等到12年级的课程全部学完，再去递交成绩单就来不及了，那就只能是等正常批次的录取，但是早期批次的录取其实基本上在3月之前一半的录取就已经全部都发走了，所以大家要做好提前准备。

三、数学学习三大分水岭

小学、初中和高中的数学学习会有三大分水岭。

　　首先说小学的分水岭，3年级的时候是小学数学的分水岭。3年级的时候，小学的数学就由具体到抽象了，由有规律可循的简单运算到具体的四则运算的推理了，就是不仅仅是加减法，还会有推理数学了，这个时候是小学的一个分水岭。小学3年级到4年级不仅仅是孩子学习上有个分水岭，在小朋友的心理年龄和整个的生理年龄当中，分水岭也是在小学3年级这一块，在孩子8岁到9岁的年龄段，这个是特别需要注意的。

　　初中的分水岭是在7年级到8年级之间，这个分水岭至关重要。因为小学的分水岭如果大家没有走得很稳，在后面还可以补救，但是初中的分水岭如果走得再不稳，基本上在高中补救的概率就比较低了。中学数学开始要接触特别更高层次的几何、综合及相关的辅助线的学习了，这个时候对孩子整个的思路分析、过程推导，还有逻辑思维的要求就更高了。初中的数学分水岭要稳稳地走好，分水岭在代数当中比较少，在几何当中比较多，还有就是在直角坐标系当中。

　　高中的分水岭是在高一和高二这个年段，高二之后就来不及了。我们通过高中的知识难点来说一下它的分水岭在哪里。10年级刚刚进入高中学习的时候，其实就出现了分水岭，为什么很多小朋友初中学习挺不错的，到了高一就突然间掉下去。因为高中1年级的数学学习，咱们国内的包括人教版第一个章节学的就是集合，它跟国际课程标准不大一样，国际课程标准高中的第一章节通常来讲是讲数理概念的，让小朋友们能有一个简单平稳的过渡，但是在国内高中第一章节就进入集合。一开始就比较难，小朋友一开始就很难适应，即使过了试用期，函数和选修课的课本中的导数，依然都是高考数学当中的压轴题，都是很难的部分，题目又有很多的灵活性、多样性，难度很高。所以高中第一个阶段，大家需要特别注意的部分就是集合。解析几何也是高中数学分水岭，这是小朋友容易掉队的一个部分。解析几何非常考验小朋友的计算能力，当中的知识点其实是很简单的，但是它延伸出来的题目往往是很困难的，所以高考数学的压轴题也往往是要有解析几何的，而且总体的难度还是比较难的。除此之外就是统计概率，就是我们常说的排列组合和概率论这两个部分，它的讲解是比较简单的，但是题目却是偏难的，所以这是小朋友容易掉队的。其他的高中数学包括平面几何、三角函数、平面向量，这些都是比较简单的，因为通常的考题都比较单一，而且难度不大，不是很繁杂的题目，所以不会出特别难的考题，但是这只是仅限于高考数学。在国际课程大纲当中，刚刚我们说到了A-Level比高考数学的偏难怪要简单，它属于点到为止。但是IB课程大纲不太一样，IB课程大纲比高考数学有一个难的地方，就是难在了向量部分，也就是平面向量。学编程的小朋友用向量特别多，因为像大学数学当中我们叫它线性代数，线性代数里面教学平面向量，线性代数也是学纯数学、学计算机学工程的小朋友必修课。平面向量在IB数学当中用到的非常多，而且考的也是偏中难，要比高考数学平面向量的内容要多。而且高考数学当中，微积分的部分大部分考的是微分，但是在IB数学当中，除了微分之外还要考积分，而且比重还是挺大的。这里说到高中数学，我们就一定要提一下北美的课程标准，北美的课程标准跟英国本土的课程标准A-Level一样，就是它的整体考试难度是属于点到为止的，这也是为什么申请名校，一流大学的时候，要求要有标准化考试。标准化考试就涉及到AP了，AP在高中数学当中小朋友就要准备微积分的内容了， AP比较单一，数学只有微积分、统计学这两项，所以小朋友准备时候的知识点也比较单一。相比IB应用性特别广的题目、实操性特别强的题目，也就是偏难的应用题目之外，AP不会考这种难度的题，会考相对来讲更侧重于理论知识。所以AP和SAT考察的是孩子的基本的数理概念，是基本的高中的数学的理论知识和概念。IB数学考察的除了有理论概念之外，还要有一个应用性，在SAT和AP当中应用性占比是属于中等偏上的，IB是占比是非常大的，这是一个差异。IB数学刚刚我也有讲过，我们分为AA和AI两种，AA这种比较难的IB数学叫做解析型数学，解析型数学有两个不同的等级，一个是标准的，一个是高阶的.不管我们是学比较简单的AI数学还是学AA当中的标准数学，它都适用于各个专业。如果小朋友申请的大学专业是数学、计算机和工程，这三大专业对数学的要求就非常高了，一定要达到AA当中的高阶标准。

四、数学竞赛路径解读

　　我们现在再就来说一下，申请大学当中也很重要的一项就是国际数学竞赛。首先有几个问题想要跟大家分享：国际数学竞赛究竟都有哪些？它都有哪些作用？除了可以助力升学这些大家都知道的作用之外，在这里特别强调一下，如果我们申请的是国际一流的名校，尤其是跟数学相关的数学、计算机和工程等专业学校，就会强烈建议要有国际数学竞赛的成绩。如果小朋友申请加拿大的多伦多大学工程专业，这是加拿大多伦多大学的王牌专业，或者加拿大的滑铁卢大学的数学、计算机这种王牌专业，滑铁卢大学就会硬性要求小朋友必须要有滑铁卢高中12年级的数学竞赛。高中12年级的数学竞赛不仅仅作为大学的录取标准之一，同时还作为大学给予奖学金、给予带薪实习机会的评判标准，这是滑铁卢官网的硬性标准，所以大家要特别注意。打算申请这三大专业的小朋友，需要要提前做好数学竞赛的规划。

　　大家可以看一下上图，首先数学竞赛有哪些种？有正常报名就可以参加的数学竞赛，还有一种叫做邀请赛。

　　我给出来的就是所有权威知名的国际数学竞赛。3到9年级对于升学并没有助力的小朋友可以尝试的数学竞赛，有北美的数学竞赛、加拿大的驯鹿数学竞赛。还有特别著名有近50年历史的中小学奥林匹克数学竞赛，这个是美国主办的，但是它是最接近真正的高中国际奥林匹克数学竞赛的中小学组数学竞赛。中学的数学竞赛要开始助力升学了，升学需要用到的中学的数学竞赛有国家数学竞赛，比如国内有全国高中生的数学竞赛，美国也有AMC美国国家数学竞赛，加拿大也有加拿大数学公开挑战赛。然后说一下这几个国际数学竞赛当中的国家数学竞赛，咱们国内的和加拿大的只有一个竞赛的等级，就是12年级要全部学完高中国家数学竞赛。美国的国家数学竞赛分得比较细，有3年级、10年级和12年级这三个年级等级。在这里特别要强调一下，如果小朋友想要申请美国的藤校，一定要有这三个年级的数学竞赛成绩，因为藤校通常是看连续三年的国际数学竞赛成绩。如果小朋友已经错过了，比如说8年级和10年级的数学竞赛的成绩，就只能是用11年级的来替代了，但是美国国家数学竞赛没有11年级这个级别的数学竞赛。另外一个权威的国际数学竞赛就是滑铁卢国际数学竞赛，它是分类特别细，从7年级到12年级，每个年级有单独的数学竞赛分类，所以大家可以用它来替代。邀请赛指的是必须初赛进入到全世界前1%的名次才能进入邀请赛。必须参加国家的数学竞赛，才能拿到邀请赛的资质，比如美国的国家数学竞赛AMC，拿到资质了之后进入邀请赛，邀请赛拿到好的成绩进入到美国的奥林匹克数学竞赛，然后进入国家东营训练队，然后去参加国际奥赛。大家可以再看一下上面的思维导图，思维导图上面有给大家标注，就是在每个年级里边小朋友能够参加的国际数学竞赛，建议大家国际数学竞赛提前做好两年的准备，这样才能给小朋友充足的时间。在这里有一个大家非常关心的问题，什么时候开始数学竞赛的学习比较合适？

　　数学竞赛的学习比较建议从小学3年级开始，因为小学3年级是整个的学习逻辑思维能力开始启蒙的时间段。小学奥数都包括了什么？通常来讲，小学奥数包括的是整个的逻辑思维能力，这个逻辑思维能力不是单纯的单调性逻辑思维，它包括了二十几种逻辑思维，有发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维，还有立体思维等等。在小学3年级的时候，小朋友智力发展发育得已经比较完善了，对知识的认知比较明确了，数学上小朋友基础的四则运算也很熟练了，而且小朋友正好进入了思维的改造期，在这个时候开始培养小朋友的思维方式、解题思路，效果是最好的，所以特别建议小朋友是在8岁到9岁的年龄开始数学竞赛的学习。有的小朋友数学能力特别好，四则运算也很熟练，是不是可以在1年级或者2年级的时候开始数学竞赛的训练？我只能说2年级是可以的，但是1年级并不建议。在小朋友最初的年龄段，我们是以呵护他的数学兴趣为主，所以比较建议在2年级开始数学思维的训练。如果小朋友是属于正常学习的，没有提前的超常学习，还是从3年级开始是比较好的切入时间点。我们在这里说的数学竞赛在什么时间开始会比较好，就一定要说一说到底什么是真正的奥数了。

　　大家通常说小朋友学奥数，但是我们不知道什么才是真正的奥数，在这里跟大家讲一下，邀请赛当中最高级别的国际团队奥林匹克数学竞赛，才是真正的奥数。传统意义上说的奥数都不是真正的奥林匹克数学，真正的奥林匹克数学是由每一个国家的高中12年级的国家数学竞赛，选拔出来的学生进入二轮复赛。进入后，有的国家是前60个学生，有的可能是前50个，有的可能是1% 、2%的学生。选拔出来的50~60个学生会进入到国家冬令营训练队，进行国家级的奥赛训练。从前30名的学生中选拔出来6名作为国家奥赛代表队成员，然后组队参加跟国际其他国家打的比赛，叫做国际奥林匹克数学竞赛。这个比赛是以团队的形式进行比赛，就像我们参加的体育的奥林匹克运动会是一样的。除了有团队的分数和团队的奖牌之外，也会有个人的证书，个人的奖牌，所以这个是真正的奥赛。真正的奥赛全部都是简答题，没有选择题。最接近奥赛的是美国主办的“国际奥林匹克中小学数学竞赛”，这个竞赛是组合赛，因为其他的国际数学学竞赛的中小学组全部都是选择题，只有这个竞赛是简答题，而且出题的形式分5套卷，每套卷5道题，进行全年的循环赛。国际奥林匹克中小学数学竞赛分为两个年级组：一个是4到6年级，一个是6到8年级。我不太建议小朋友在最开始的时候就准备这个比赛，建议可以先选择其他的国际数学竞赛作为开始，准备一年之后再打奥赛会比较合适。在这里值得一提的，就是中学数学竞赛在10年级之前全部是选择题，但是滑铁卢的数学竞赛从九年级开始就有两套数学竞赛，不同的标准卷，一套全部是选择题，一套全部是简答题。我特别建议小朋友要同时参加这两个，或者从9年级开始我们就不做选择题的试卷了，只做简答题，因为在12年级“欧几里得数学竞赛”就没有选择题了，小朋友等到10年级之后再去过渡就会比较困难，所以10年级之前做准备会比较好一点。我们往下看一下数学竞赛辅助的练习，数学竞赛辅助的练习没有标准化的数学竞赛的课本，所以建议小朋友用历年的竞赛老题来做练习。最后跟大家说一下，在报数学班的时候怎么去准备呢？

　　建议小朋友在三年级之前报单纯的数学学习班，比如说趣味数学或者是数学思维训练，这样的学习班都是没有问题的。在三年级开始用组合的方式开始数学学习，要有数学的标准课程大纲学习和数学竞赛学习，双重路径来走会特别好。最后做一个总结，就像国内的高考英文一样，里面会有很多的阅读题，来自美国的读者杂志或者是美国的一些时效性特别好的一些杂志。数学也是一样，高考数学实际上已经从之前特别注重的证明型数学和扎实的理论型数学这个方向，逐渐在往国际课程标准走了，开始逐渐注重应用型数学了。国际课程标准有很好的应用型数学的考察，但是并没有很好的扎实理论，比如证明题理论基础的考察。现在国际课程标准，比如说IB数学在2019年课改之后，更加注重理论证明这一块了。所以不管是高考数学还是国际课程大纲，用华为总裁任正非先生的一句话“中国和美国总有一天会在山顶拥抱”，这句话也能用在数学课程大纲当中，高考数学大纲、人教版课程大纲和国际课程大纲其实也是在逐渐接轨当中，总有一天会一起在数学学习、学术数学的彼岸会晤。

五、问答

问题1：新加坡数学可以作为国内小学一到三年级的主要辅助资料吗？马兰老师：在这里我觉得不能作为唯一的辅助资料，但是作为一个辅助资料是没有任何问题的。因为新加坡数学相当于是国内的数学一个英文翻译，所以它跟人教版数学是非常接轨的，所以作为一个辅助材料是没有任何问题的。但是新加坡数学跟国内的数学有一个比较一样地方，就是应用性不够好、拓展性不够强，所以建议大家在这个地方要稍微结合一下。

问题2：除了新加坡数学教材可以用什么教材做补充？有详细的推荐吗？马兰老师：在之前的图里边能看到小学课程教材有推荐，我们可以用北美的课程大纲的教材就是Jump Math，它是北美的课程标准，但是它在实际的实操中要比新加坡数学的概率论和解析几何的部分要用的更多一些、更好一点，还有可以推荐大家用牛津和剑桥大学出版社出版的IB教材也是可以用的、是非常好的。

问题3：市面上可以买到一些教材，比如说新加坡数学、Jump Math主要是以学生练习为主，对例题的讲解比较少，有没有对数学概念例题讲解多一点的教材？马兰老师：在这里 Math Makes Sense教材它的数学概念讲解会比较多一点，它的练习册在每一个课程之前，第一个内容都是讲解知识点，然后会有一点例题，所以这个是可以用的。中学的教材，北美的刚刚在图片上面给大家放出来的教材，它虽然都是练习册，但是例题和概念的讲解非常的全，所以大家可以去用。Math Makes Sense小学的教材有一个特点，就是它没有答案书，所以大家要特别慎重，如果小学数学不是特别扎实的，已经忘记了的爸爸妈妈，不建议用这本教材，是因为它没有答案。

问题4：新加坡数学G12，建议小朋友哪个年级以前需要学完，然后再继续学IB ？马兰老师：在这里我建议如果大家学新加坡数学，那么在五年级的时候可以学完新加坡数学六年级的内容，在六年级最晚到七年级的时候应该切换进IB的内容了。新加坡数学的小学其实它的基本功是很扎实的，但是它的中学内容就不够丰满了，中学的内容就比较点到为止，所以建议在中学阶段切换进IB学习，这是我们的教学大纲的内容。

问题5：老师课程中提到的三大算法是什么？马兰老师：三大算法就是排列组合概率论当中的Permutation（排列） Combination（组合）还有Factorial（阶乘），这三个算法是我们应用特别多的，也是考试考得特别多，最最重要的部分。不仅仅是中学数学，主要是高中数学会考到非常难的题。