二元一次不等式高中课程_一元二次不等式教学

考纲原文

　　（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

　　（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

　　（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

知识点详解

一、二元一次不等式（组）与平面区域

　　1．二元一次不等式表示的平面区域

　　一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．

2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：

3．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法

二、简单的线性规划问题

1．简单线性规划问题的有关概念

　　（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件．关于变量x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的线性约束条件．

　　（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数．目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数.

　　（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．

2．简单线性规划问题的解法

　　在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：

　　（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线ax+by=0 (目标函数为z=ax+by)；

　　（2）移：平行移动直线ax+by=0，确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点；

　　（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；

　　（4）答：给出正确答案．

3．线性规划的实际问题的类型

　　（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

　　常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题.

考向一 二元一次不等式（组）表示的平面区域

　　1．确定平面区域的方法如下：

　　2．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.

　　（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.

　　（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.

考向二 线性目标函数的最值问题

　　1．平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.

　　2．顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z=ax+by的值，经比较后得出z的最大(小)值.

　　求解时需要注意以下几点：

　　（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.

　　（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.

　　（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.

考向三 含参线性规划问题

　　1．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法.

　　2．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状.

考向四 利用线性规划解决实际问题

　　用线性规划求解实际问题的一般步骤为：

　　（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．

　　（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．

　　（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．

　　注意：（1）在实际应用问题中变量x,y除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略.

　　（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解.

考向五 非线性目标函数的最值问题

　　1．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的.因此有必要总结常见模型或其变形形式.

　　2．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值.