2022铜仁中考数学_2020年铜仁市中考数学

微创新

【题目】

　　（2018•大庆）如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．

　　（1）求抛物线的解析式；

　　（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；

　　（3）点D为抛物线对称轴上一点．

　　①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

　　②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

【答案】

　　解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x²+bx+c，得

　　16+4b+c=0，c=4，

　　解得b=-5，c=4，

　　∴抛物线的解析式为y=x²﹣5x+4；

　　（2）易得BC的解析式为y=﹣x+4，

　　∵直线y=x+m与直线y=x平行，

　　∴直线y=﹣x+4与直线y=x+m垂直，

　　∴∠CEF=90°，

　　∴△ECF为等腰直角三角形，

　　作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE=√2/2PG，

　　设P（t，t²﹣5t+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4），

　　∴PF=√2PH=√2t，PG=﹣t+4﹣（t²﹣5t+4）=﹣t²+4t，

　　∴PE=√2/2PG=﹣√2/2t²+2√2t，

　　∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣√2t²+4√2t+√2t=﹣√2t²+5√2t=﹣√2（t﹣5/2）²+(25√2)/4，

　　当t=5/2时，PE+EF的最大值为(25√2)/4；

　　（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=5/2，

　　设D（5/2，y），则BC²=4²+4²=32，DC²=（5/2）²+（y﹣4）²，BD²=（4﹣5/2）²+y²=9/4+y²，

　　当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC²+DC²=BD²，即3²+（5/2）²+（y﹣4）²=9/4+y²，解得y=5，此时D点坐标为（5/2，13/2）；

　　当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC²+DB²=DC²，即3²+9/4+y²=（5/2）²+（y﹣4）²，解得y=﹣1，此时D点坐标为（5/2，﹣3/2）；

　　综上所述，符合条件的点D的坐标是（5/2，13/2）或（5/2，﹣3/2）；

　　②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC²+DB²=BC²，即（5/2）2+（y﹣4）²+9/4+y²=32，解得y1=(4+√31)/2，y2=(4-√31)/2，此时D点坐标为（5/2，(4+√31)/2）或（5/2，(4-√31)/2），

　　所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为(4+√31)/2＜y＜13/2或﹣3/2＜y＜(4-√31)/2．

　　【总结】

　　题（2）一反常态求线段和的最小值，改为线段和的最大值，利用点坐标表示出两个线段的长度，再利用二次函数的性质来求得最值。本题是命题方向与2015年福州市的中考压轴题类似，问题的问法是差不多。

　　题（3）本质考察的就是直角三角形的存在性问题，①问其实是为了第②问做铺垫的。先通过求直角三角形的问题，再得出锐角三角形的问题。其实本题与2014年广州的中考数学压轴题有一些类似。只是人家问的是钝角的问题。

　　其实此类问题都可以用直角三角形存在性问题中的“两定一动”模型中的“两线一圆”方法来求得。

　　如图，分别过点A，B作线段AB的垂线，并以AB为直径画圆，在图中虚线部分（除A，B）上的点都可以与AB构成直角三角形，当点C在圆内部的时候，∠ACB＞90°为钝角，当点C在圆的外部时，∠ACB＜90°为锐角。

【变式题】

　　（2015•福州）如图，抛物线y＝x²﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x+m与对称轴交于点Q．

　　（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ；

　　（2）若两个三角形面积满足S△POQ=1/3S△PAQ，求m的值；

　　（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．

　　（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y＝ax²+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．

　　（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

　　（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；

　　（3）若m＞3/2，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜5/2）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

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